背景介绍
传统的多层感知器（MLPs）在机器学习领域取得了巨大成功，但仍存在参数量大、难以解释等问题。为了解决这些问题，我们提出了一种全新的神经网络架构，KAN（Kolmogorov-Arnold Network），旨在提高模型的灵活性和表达能力，同时保持模型的解释性。
设计思路
KAN网络的设计灵感来源于Kolmogorov-Arnold表示定理，该定理表明多元连续函数可以表示为单变量连续函数和二元加法运算的有限复合。KAN网络将可学习的激活函数应用于权重上，而不是在节点（神经元）上使用固定的激活函数，以更灵活、更接近Kolmogorov-Arnold表示定理的方式处理和学习输入数据的复杂关系。
结构设计
KAN网络由两个类组成：Hidden_layer和Output_layer。Hidden_layer负责处理输入层到隐藏层的转换，而Output_layer负责处理隐藏层到输出层的转换。每个层都包含了可学习的参数，如k、A、w1、phi1、B、w2、phi2等，通过正向传播和反向传播来更新这些参数，以最小化损失函数。
优点与应用
与传统的MLPs相比，KAN网络具有以下优点：
- 更高的精度：实验结果显示，KAN网络在数据拟合和偏微分方程求解等任务中可以达到或超过MLPs的准确度。
- 更好的解释性：KAN网络具有很好的解释性，其可视化和交互性使得模型的行为和结果更容易被人类用户理解。
- 更快的神经缩放定律：KAN网络比MLPs具有更快的神经缩放定律，随着模型规模的增加，性能提升速度更快。
KAN网络在函数拟合、偏微分方程求解以及处理凝聚态物理等领域都表现出比MLPs更好的效果，具有广泛的应用前景。
代码实现与训练
我们使用Python实现了KAN网络，并对其进行了训练。具体代码如下：
在训练过程中，我们通过正向学习和反向传递来更新参数，并监控损失函数的变化。最终实现了对输入数据的准确预测，并得到了训练损失的变化曲线。
隐藏层使用以下公式进行计算：